Question

1．如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．
（1）求证：FD∥平面AHC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四边形ABEF为菱形，可得AB∥EF，得到EF∥CD．结合H是EF的中点，AB=2CD，得CD=FH，可得四边形CDFH为平行四边形，从而得到DF∥CH．再由线面平行的判定可得FD∥平面AHC；
（2）由平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，可得DA⊥平面ABEF，结合已知可得四棱锥C-ABEF的高DA=2，三棱锥F-ADC的高AH=$\sqrt{3}$．然后由V_ABCDEF=V_C-ABEF+V_F-ADC求得多面体ABCDEF的体积．

解答 （1）证明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB∥CD，
∵四边形ABEF为菱形，∴AB∥EF，则EF∥CD．
∵H是EF的中点，AB=2CD，∴CD=FH，
∴四边形CDFH为平行四边形，则DF∥CH．
∵DF?平面AHC，HC?平面AHC，
∴FD∥平面AHC；
（2）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABEF，
∵DC∥AB，∴四棱锥C-ABEF的高DA=2，
∵∠ABE=60°，四边形ABEF为边长是4的菱形，
∴可求三棱锥F-ADC的高AH=2$\sqrt{3}$．
∴V_ABCDEF=V_C-ABEF+V_F-ADC=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{3}×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2\sqrt{3}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．