Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2cos²x+1．
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若f（α）=

8

5

（α∈[0，

π

6

]），求cos2α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,二倍角的余弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据已知，化简得到f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，然后，结合x∈[0，

π

2

]，求解其最大值；
（2）根据f(α)=

8

5

，得到sin(2α-

π

6

)=

4

5

，然后结合α∈[0，

π

6

]，得到(2α-

π

6

)∈[-

π

6

，

π

2

]，从而得到cos(2α-

π

6

)=

3

5

，从而得到该值．

解答： 解：根据已知得f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1=

3

sin2x-2×

1+2cos2x

2

+1
=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
（Ⅰ）因为x∈[0，

π

2

]，
所以(2x-

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以当x=

π

3

时，f（x）_max=2．
（Ⅱ）由f(α)=

8

5

，知sin(2α-

π

6

)=

4

5

，
因为α∈[0，

π

6

]，
所以(2α-

π

6

)∈[-

π

6

，

π

2

]，
因此cos(2α-

π

6

)=

3

5

，
所以cos2α=cos[(2α-

π

6

)+

π

6

]=cos(2α-

π

6

)cos

π

6

-sin(2α-

π

6

)sin

π

6

=

3

5

×

3

2

-

4

5

×

1

2

=

3 3 -4

10

．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、二倍角公式等知识，属于中档题．