题目内容

17．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x（x取整数）元与日销售量y台之间有如表关系：
x35404550
y56412811
（1）画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系？
（2）求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
（3）设经营此商品的日销售利润为P元，根据（1）写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．（$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$）

分析 （1）作散点图，从而确定y与x具有线性相关关系；
（2）求35×56+40×41+45×28+50×11=5410，$\overline{x}$=42.5，$\overline{y}$=34；352+402+452+502=7350；从而求$\widehat{a}$，$\widehat{b}$；
（3）由题意，P=（x-30）y=（x-30）（-2.96x+159.8）=-2.96x2+248.6x-4794，（31≤x≤53，x∈N）；从而求最值点．

解答 解：（1）作散点图如右图，
y与x具有线性相关关系；
（2）35×56+40×41+45×28+50×11=5410，$\overline{x}$=42.5，$\overline{y}$=34；
352+402+452+502=7350；
故$\widehat{b}$=$\frac{5410-4×42.5×34}{7350-4×42．{5}^{2}}$=-2.96；
故$\widehat{a}$=34+2.96×42.5=159.8；
故线性回归方程为y=-2.96x+159.8；
（3）由y=-2.96x+159.8≥0得，x≤53；
P=（x-30）y
=（x-30）（-2.96x+159.8）
=-.296x2+248.6x-4794，（31≤x≤53，x∈N）；
故当x=$\frac{248.6}{2×2.96}$≈42，
故预测当销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．

点评 本题考查了线性规划的应用及函数的性质应用，属于中档题．

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