题目内容
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且1+
=
．
（1）求角A；
（2）若a=
，求△ABC面积的最大值．
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
（1）求角A；
（2）若a=
| 3 |
考点：余弦定理,同角三角函数基本关系的运用
专题：三角函数的求值
分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosA的值，可得A的值．
（2）由条件利用余弦定理求得bc≤3，再根据据△ABC面积为
bc•sinA，从而求得它的最大值．
（2）由条件利用余弦定理求得bc≤3，再根据据△ABC面积为
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）△ABC中，∵1+
=
，∴1+
=
，
即
=
，∴
=
，整理得cosA=
．
∵0＜A＜π，∴A=
．
（2）∵a2=b2+c2-2bccosA，a=
，∴(
)2=b2+c2-2bc×
=b2+c2-bc．
即 3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
当且仅当 b=c=
时，bc取得最大值3，再根据△ABC面积为
bc•sinA≤
×3×
=
．
∴△ABC面积的最大值为
．
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
| sinAcosB |
| sinBcosA |
| 2sinC |
| sinB |
即
| sinBcosA+sinAcosB |
| sinBcosA |
| 2sinC |
| sinB |
| sin(A+B) |
| sinBcosA |
| 2sinC |
| sinB |
| 1 |
| 2 |
∵0＜A＜π，∴A=
| π |
| 3 |
（2）∵a2=b2+c2-2bccosA，a=
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
即 3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
当且仅当 b=c=
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 4 |
∴△ABC面积的最大值为
3
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，基本不等式，属于中档题．
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