Question

设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则

1

a+b

+

9(a+b)

b+c

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：通过代换转化为利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．

解答： 解：∵正实数a，b，c满足a+2b+c=1，
令a+b=x＞0，b+c=y＞0，且x+y=1．
∴

1

a+b

+

9(a+b)

b+c

=

1

x

+

9x

y

，
由x+y=1可得y=1-x．
∴

1

x

+

9x

y

=

1

x

+

9x

1-x

=f（x）．（0＜x＜1）
∴f′（x）=-

1

x2

+

9(1-x)-9x•(-1)

(1-x)2

=

8x2+2x-1

x2(1-x)2

=

(2x+1)(4x-1)

x2(1-x)2

，
令f′（x）=0，解得x=

1

4

．
当x∈(0，

1

4

)时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x∈(

1

4

，1)时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．因此当x=

1

4

时，函数f（x）取得最小值，f(

1

4

)=

1

1 4

+

9× 1 4

1- 1 4

=4+3=7．
∴

1

a+b

+

9(a+b)

b+c

的最小值是7．
故答案为：7．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值和转化的方法，属于难题．