Question

已知a∈R，函数f（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²+b，g（x）=2alnx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）设F（x）=f′（x）-g（x），若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出曲线y=f（x）和y=g（x）的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系即可得到结论；
（Ⅱ）求出F（x）表达式，利用函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

2

x2+(a-2)x，f′(1)=a-

3

2

．g′(x)=

2a

x

，g'（1）=2a．
依题意有f'（1）g'（1）=-1，
可得2a(a-

3

2

)=-1，解得a=1，或a=

1

2

．
当a=1时，f（x）=

1

6

x³-

1

2

x²+b，g（x）=2lnx．
由

f(1)= 1 6 - 1 2 +b=c g(1)=2ln1=0=c

，解得c=0．b=

1

3

，
当a=

1

2

时，f（x）=

1

6

x³-

3

4

x²+b，g（x）=lnx．
由

f(1)= 1 6 - 3 4 +b=c g(1)=ln1=0=c

，解得c=0．b=

7

12

．
（Ⅱ）F(x)=

1

2

x2+(a-2)x-2alnx．
不妨设x₁＜x₂，
则

F(x2)-F(x1)

x2-x1

＞a等价于F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），
即F（x₂）-ax₂＞F（x₁）-ax₁．
设G（x）=F（x）-ax，
则对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

F(x2)-F(x1)

x2-x1

＞a，
等价于G（x）=F（x）-ax在（0，+∞）是增函数．G(x)=

1

2

x2-2alnx-2x，
可得G′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

，
依题意有，对任意x＞0，有x²-2x-2a≥0．
由2a≤x²-2x=（x-1）²-1，可得a≤-

1

2

．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力．