Question

13．已知a、b∈R₊，a+b=1，M=$\frac{{a}^{3}}{a+{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}+b}$，N=$\frac{{b}^{3}}{a+{b}^{2}}$+$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+b}$，则M与N的大小关系是（　　）

• A． M＞N
• B． M＜N
• C． M=N
• D． M≤N

Answer 1

分析 把M，N作出，然后因式分解，结合已知a+b=1可得M=N．

解答 解：∵a、b∈R₊，a+b=1，M=$\frac{{a}^{3}}{a+{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}+b}$，N=$\frac{{b}^{3}}{a+{b}^{2}}$+$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+b}$，
∴M-N=$\frac{{a}^{3}}{a+{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}+b}$-$\frac{{b}^{3}}{a+{b}^{2}}$-$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+b}$=$\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a+{b}^{2}}-\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{{a}^{2}+b}$
=$（{a}^{3}-{b}^{3}）（\frac{1}{a+{b}^{2}}-\frac{1}{{a}^{2}+b}）=（{a}^{3}-{b}^{3}）•\frac{{a}^{2}+b-a-{b}^{2}}{（a+{b}^{2}）（{a}^{2}+b）}$
=$\frac{（{a}^{3}-{b}^{3}）（a-b）（a+b-1）}{（a+{b}^{2}）（{a}^{2}+b）}=0$．
∴M=N．
故选：C．

点评 本题考查不等式的比较大小，训练了作差法，是中档题．