Question

4．如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，∠ABC=30°，PA=AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角A-PB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设⊙O所在的平面为α，证明PA⊥BC，AC⊥BC，然后证明BC⊥平面PAC，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面PBC．
（2）设AC=1，则PA=AB=2，在平面PAC中作AD⊥PC于D，在平面PAB中作AE⊥PB于连结DE，推导出AD⊥PC，AD⊥PB，PB⊥ED，从而∠DEA即为二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的正弦值．

解答 证明：（1）设⊙O所在的平面为α，
依题意，PA⊥α，BC?α，∴PA⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
解：（2）∵PA⊥平面ABC，设AC=1，∵∠ABC=30°∴PA=AB=2
 在平面PAC中作AD⊥PC于D，在平面PAB中作AE⊥PB于连结DE
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AD⊥PC
∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PB，
又∵PB⊥AE，∴PB⊥面AED，∴PB⊥ED，
∴∠DEA即为二面角A-PB-C的平面角，
在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中，
分别由等面积方法求得
AD=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AE=$\frac{2×2}{\sqrt{4+4}}$=$\sqrt{2}$，
∴在直角三角形ADE中，sin∠DEA=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即二面角A-PB-C的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力