Question

14．设函数f（x）=nlnx-$\frac{e^x}{e^n}$+2016，n为大于零的常数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若$x∈（{0，\frac{{{t^2}+（{2n-1}）t}}{2}}），t∈（{0，2}）$，求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）观察f（x）的单调性及最值，证明：ln$\frac{{{n^2}+1}}{n^2}＜\frac{{{e^{\frac{1}{n}}}-1}}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）通过讨论$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点即可；
（Ⅲ）根据函数的单调性得到f（n+$\frac{1}{n}$）＜f（n），代入证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：f′（x）=$\frac{n}{x}$-e^x-n，
令f′（n）=$\frac{n}{n}$-e^n-n=0，
则x∈（0，n）时，f′（x）＞0，x∈（n，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，n）递增，在（n，+∞）递减；
（Ⅱ）①当$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$≤n时，即t²+（2n-1）t-2n≤0，
即（t+2n）（t-1）≤0，由题意t∈（0，2），解得：0＜t≤1，
此时，由（Ⅰ）知：（0，$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$）⊆（0，n），
∴f（x）在（0，$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$）递增，无极值点，
②当$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$＞n时，即t²+（2n-1）t-2n＞0，
由题意t∈（0，2），解得：1＜t＜2，
此时，由（Ⅰ）知：f（x）在（0，n）递增，在（n，$\frac{{t}^{2}+（2n-1）t}{2}$）递减
∴f（x）无极小值点，极大值点是x=n，
综上，0＜t≤1时，f（x）无极值点，1＜t＜2时，f（x）的极大值点是x=n；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：f（x）在（0，n）递增，在（n，+∞）递减，
∴f（n+$\frac{1}{n}$）＜f（n），
即nln（n+$\frac{1}{n}$）-$\frac{{e}^{n+\frac{1}{n}}}{{e}^{n}}$+2016＜nlnn-1+2016，
得nln（n+$\frac{1}{n}$）-${e}^{\frac{1}{n}}$＜nlnn-1，
∴ln$\frac{{{n^2}+1}}{n^2}＜\frac{{{e^{\frac{1}{n}}}-1}}{n}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．