Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），bn=an•2n-1，则{b_n}的前n项和T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由na_n+1=S_n+n结合通项和前n项和的关系，转化为a_n+1-a_n=2（n≥2）再由等差数列的定义求解a_n代入整理得{b_n}是一个等差数列与等比数列对应项积的形式，用错位相减法求其前n项和．

解答： 解：∵na_n+1=S_n+n（n+1），（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），
∴na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，
∴a_n+1-a_n=2（n≥2），
a₁=2，a₂=S₁+2，
∴a₂-a₁=2，
∴{a_n}等差数列，
∴a_n=2n
∴bn=an•2n-1=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴T_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=2•2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．
故答案为：T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评：本题主要考查数列的转化与通项公式和求和方法，这里涉及了通项与前n项和之间的关系及错位相减法，这是数列考查中常考常新的问题，要熟练掌握．