Question

函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时，tf（x）≥2^x-2恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、[4，+∞）
• D、（-2，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数，可得a的值，若当x∈（0，1]时，tf（x）≥2^x-2恒成立，即当x∈（0，1]时，t≥

2x-2

2x-1 2x+1

恒成立，构造函数g（x）=

2x-2

2x-1 2x+1

求出当x∈（0，1]时，函数的最大值，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=1-

4

2ax+a

=1-

4

2+a

=0，
解得a=2，
即f（x）=1-

4

2×2x+2

=

2x-1

2x+1

，
若当x∈（0，1]时，tf（x）≥2^x-2恒成立，
则当x∈（0，1]时，t≥

2x-2

2x-1 2x+1

恒成立，
令g（x）=

2x-2

2x-1 2x+1

=

(2x-2)(2x+1)

2x-1

=(2x-1)+

-2

2x-1

+1，
则g（x）在（0，1]上为增函数，
当x=1时，函数最最大值0，
故t≥0，
即实数t的取值范围是[0，+∞），
故选：A

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的性质，恒成立问题，难度中档．