Question

18．某一扇型的铁皮，半径长为1，圆心角为$\frac{π}{3}$，今想从中剪下一个矩形ABCD，如图所示，设∠COP=α，试问当α取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 先用α把矩形的各边长表示出来，进而表示矩形的面积，化简，利用α的范围，集合三角函数的性质求解．

解答 解：∵△OBC是直角三角形，
∴在Rt△OBC中，由OB=OC•cosα=cosα；BC=OC•sinα=sinα；
又∵△OAD是直角三角形，
在Rt△OAD中，
∵$\frac{AD}{OA}=tan60°=\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}BC$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα；
又∵AB=OB-OA=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
所以：矩形ABCD的面积等于AB•BC：
令f（α）=AB•BC=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）•sinα
化简得：f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{3}sin（2α+\frac{π}{6}）-\frac{\sqrt{3}}{6}$
∵$0＜α＜\frac{π}{3}$
∴$\frac{π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
当$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{6}$时，函数f（α）取得最大值，即矩形ABCD的面积最大，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了三角函数在实际生活中的运用，解题的关键就是关键图形建立三角模型，利用三角函数的性质解题．属于中档题．