Question

10．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求在f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求导函数，令f'（x）≥0得e^x≥a，分类讨论：当a≤0时，f'（x）＞0在R上恒成立，当a＞0时，得x≥lna，由此可得f（x）的单调增区间以及单调减区间．
（2）分类讨论，根据函数的单调性即可求出最小值．

解答 解：∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f'（x）=e^x-a，
令f′（x）≥0得e^x≥a，
当a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，
当a＞0时，由f′（x）＞0得x≥lna，f（x）的单调增区间是（lna，+∞）．单调减区间为（-∞，lna）
综上所述：当a≤0时f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
当a＞0时f（x）的单调增区间是（lna，+∞）；单调减区间为（-∞，lna）．
（2）当a≤0时，由（1）可知f（x）在[1，2]上单调递增，f（x）_min=f（1）=e-a-1，
当lna≤1时，即0＜a≤e，由（1）可知f（x）在[1，2]上单调递增，f（x）_min=f（1）=e-a-1，
当lna≥2时，即a≥e²，由（1）可知f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）_min=f（2）=e²-2a-1．
综上所述，当a≤e时，f（x）_min=e-a-1，
当a＞e时，f（x）_min=e²-2a-1．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．