Question

6．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=1，a₁=1，试比较$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$与$\frac{n+2}{2}$的大小并证明．

Answer 1

分析 由已知求出数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$≥$\frac{n+2}{2}$．

解答 解：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$≥$\frac{n+2}{2}$．
证明如下：由a_n+1-a_n=1，a₁=1，知数列{a_n}为首项是1，公差为1的等差数列，
∴通项公式为a_n=n．
要证$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$≥$\frac{n+2}{2}$，
只要证：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{n+2}{2}$，下面用数学归纳证明：
n=1时，1+$\frac{1}{2}$=$\frac{1+2}{2}$，结论成立，
当n=2时，左边=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{25}{12}$$＞\frac{24}{12}=2$，结论成立；
假设n=k时结论成立，即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≥$\frac{k+2}{2}$，
那么：n=k+1时，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}+\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}$=$\frac{k+3}{2}$，即n=k+1时，结论也成立．
综上所述，n∈N，结论成立．

点评 本题是数列与不等式的综合题，考查了数学归纳法与放缩法证明数列不等式，是中档题．