题目内容
3．已知E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点．（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）若AC与BD相互垂直，BD=2，AC=4，求EG2+HF2；
（3）若$EG=\sqrt{7}，BD=2，AC=4$，求直线BD与AC的夹角．
分析 （1）如图所示，E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点，利用三角形中位线定理可得：EF∥GH，即可证明E，F，G，H四点共面．
（2）由AC=4，EF=2；同理可得：EH=1．可得四边形EFGH为矩形．利用勾股定理即可得出：EG2+HF2．
（3）由（1）可知：∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角．利用余弦定理即可得出．
解答 （1）证明：如图所示，
∵E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴EF$\underset{∥}{=}$GH，
∴四边形EFGH为平行四边形．
∴E，F，G，H四点共面．
（2）解：∵AC=4，∴EF=2；同理可得：EH=1．
又AC⊥BD，∴EF⊥EH，
可得四边形EFGH为矩形．
∴EG2+HF2=2×（22+12）=10．
（3）解：由（1）可知：∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角．
cos∠EFG=$\frac{{2}^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{7}）^{2}}{2×2×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BD与AC的夹角为60°．
点评 本题考查了空间位置关系、空间角、平行四边形与矩形的性质、三角形中位线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PAB是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．
14．2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于115为通过，并引进项目投资．大于115为未通过，并进行治理．现统计如下．
（Ⅰ）以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率；
（Ⅱ）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．在（Ⅰ）的前提下，记X为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量X的分布列和数学期望．
| 空气质量指数 | （0，35] | （35，75] | （75，115] | （115，150] | （150，250] | ＞250 |
| 空气质量类别 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
| 甲区天数 | 13 | 20 | 42 | 20 | 3 | 2 |
| 乙区天数 | 8 | 32 | 40 | 16 | 2 | 2 |
（Ⅱ）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．在（Ⅰ）的前提下，记X为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量X的分布列和数学期望．
某一扇型的铁皮，半径长为1，圆心角为$\frac{π}{3}$，今想从中剪下一个矩形ABCD，如图所示，设∠COP=α，试问当α取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大值．
8．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为9．
15．某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据
（1）利用所给数据求两变量之间的回归方程
（2）利用（1）中所求出的回归直线方程预测该地第6年的粮食需求量
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}\overline{x}$．
| 第x年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 需求量（万吨） | 3 | 6 | 5 | 7 | 8 |
（2）利用（1）中所求出的回归直线方程预测该地第6年的粮食需求量
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}\overline{x}$．
12．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\bar w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（ II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\bar v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．| $\bar x$ | $\bar y$ | $\bar w$ | $\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$ | $\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$ | $\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$ | $\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$ |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（ II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\bar v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．