Question

13．过双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦点做倾斜角为45°的弦AB．求：
（1）求弦AB的中点C到右焦点F₂的距离；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出直线AB的方程，代入双曲线方程，求出C的坐标，即可求弦AB的中点C到右焦点F₂的距离；
（2）利用弦长公式求弦AB的长．

解答 解：（1）双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦点（3，0），直线AB的方程为y=x-3．
代入双曲线的方程，可得x²+24x-56=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-24，x₁x₂=-56，
∴弦AB的中点C（-12，-15），
∴弦AB的中点C到右焦点F₂的距离$\sqrt{（3+12）^{2}+（0+15）^{2}}$=15$\sqrt{2}$；
（2）弦AB的长=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（-24）^{2}-4×（-56）}$=16$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．