Question

已知函数f（x）=3-4^x，g（x）=2^x+1，H（x）=f（x）+g（x），x∈R．
（1）设函数M（x）=

H(x)-|f(x)-g(x)|

2

，求M（x）的最大值；
（2）判断H（x）的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）当x∈[a，a+1]（a∈R）时，求H（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明

专题：证明题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）先求M（x）的解析式，再由M（x）的单调性，求出最大值；
（2）运用单调性的定义，在R上任取两数x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）与0的大小，判断函数的单调性；
（3）对a进行讨论，属于对称轴定区间动的情形，分三种情况．

解答： 解：（1）f（x）-g（x）=3-4^x-2^x+1=-（2^x）²-2×2^x+3=-（2^x-1）（2^x+3）
令f（x）-g（x）≥0得x≤0，由f（x）-g（x）＜0得x＞0，
M（x）=

g(x)(x≤0) f(x)(x＞0)

，当x≤0时，M（x）=g（x）=2^x+1≤2，
当x＞0，M（x）=f（x）=3-4^x＜2，
∴M（x）的最大值为2．
（2）H（x）=3-4^x+2^x+1=-4^x+2×2^x+3，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
H（x₁）-H（x₂）=-4x1+2×2x1+3-(-4x2+2×2x2+3)=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)
∵2x2-2x1＞0，
当x₁＜x₂＜0时，2x2+2x1-2＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，
当x₂＞x₁＞0时，2x2+2x1-2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3））H（x）=-4^x+2×2^x+3，
令t=2^x，∵x∈[a，a+1]，∴t∈[2^a，2^a+1]，t＞0，
∴y=-t²+2t+3=-（t-1）²+4，当t∈（0，1）时y单调递减，当t∈（1，+∞）时单调递增，
由（2）知当a≥0即t≥1时，H（x）单调递减，∴当t=2^a时，有最大值，且最大值为H（a）=-4^a+2^a+1+3；
当a≤-1时即t+1≤1时，H（x）单调递增，∴当t=2^a+1时，有最大值，且最大值为H（a+1）=-4^a+1+2^a+2+3；
当-1＜a＜0即

1

2

＜t＜2，H（x）在（

1

2

，1）单调递增，在（1，2）上单调递减，当t=1时有最大值，且最大值为H（1）=4．

点评：本题考查函数的单调性，最值，复合函数单调性，注意复合函数单调性的性质，属于中档题．