Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，E是棱BB₁的中点．
（Ⅰ）求证平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）若AA₁=AB，求二面角C-AE-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别取AC，AC₁的中点O，F，推导出四边形OBEF是平行四边形，从而OB∥EF．推导出OB⊥面ACC₁A₁，从而EF⊥平面ACC₁A₁，由此能证明平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AE-C₁的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）分别取AC，AC₁的中点O，F，
连结OB，OF，EF，则OF$\underset{∥}{=}$BE，
∴四边形OBEF是平行四边形，∴OB∥EF．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，ABC是正三角形，O是AC的中点，
∴OB⊥面ACC₁A₁，∴EF⊥平面ACC₁A₁，
∴平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）建立如图O-xyz空间直角坐标系，设AA₁=AB=2，
则$A（{0，-1，0}），C（{0，1，0}），E（{\sqrt{3}，0，1}）$，
${C_1}（{0，1，2}），\overrightarrow{AC}=（{0，2，0}），\overrightarrow{A{C_1}}=（{0，2，2}），\overrightarrow{AE}=（{\sqrt{3}，1，1}）$，
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
平面AEC₁的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AE}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{A{C_1}}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AE}=0\end{array}\right.$，
得$\overrightarrow{n_1}=（{1，0，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{n_2}=（{0，1，-1}）$
设二面角C-AE-C₁的平面角为θ，
则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
∴二面角C-AE-C₁的平面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想、数形结合思想，是中档题．