Question

9．给定数列{a_n}，若满足a₁=a（a＞0且a≠1），对于任意的n，m∈N^*，都有a_n+m=a_n•a_m，则称数列{a_n}为指数数列．
（1）已知数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别为${a_n}=3•{2^{n-1}}$，${b_n}={3^n}$，试判断{a_n}，{b_n}是不是指数数列（需说明理由）；
（2）若数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=4，a_n+2=3a_n+1-2a_n，证明：{a_n}是指数数列；
（3）若数列{a_n}是指数数列，${a_1}=\frac{t+3}{t+4}$（t∈N^*），证明：数列{a_n}中任意三项都不能构成等差数列．

Answer 1

分析 （1）利用指数数列的定义，判断即可；
（2）求出{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$，即可证明：{a_n}是指数数列；
（3）利用反证法进行证明即可．

解答 （1）解：对于数列{a_n}，因为a₃=a₁₊₂≠a₁•a₂，所以{a_n}不是指数数列．   …（2分）
对于数列{b_n}，对任意n，m∈N^*，因为${b_{n+m}}={3^{n+m}}={3^n}•{3^m}={b_n}•{b_m}$，
所以{b_n}是指数数列．  …（4分）
（2）证明：由题意，a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
所以数列{a_n+1-a_n}是首项为a₂-a₁=2，公比为2的等比数列．  …（2分）
所以${a_{n+1}}-{a_n}={2^n}$．所以，${a_n}=（{a_n}-{a_{n-1}}）+（{a_{n-1}}-{a_{n-2}}）+…+（{a_2}-{a_1}）+{a_1}={2^{n-1}}+{2^{n-2}}+…+2+2$
=$\frac{{2（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}+2={2^n}$，即{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$（n∈N^*）．  …（5分）
所以${a_{n+m}}={2^{n+m}}={2^n}•{2^m}={a_n}•{a_m}$，故{a_n}是指数数列． …（6分）
（3）证明：因为数列{a_n}是指数数列，故对于任意的n，m∈N^*，有a_n+m=a_n•a_m，令m=1，则${a_{n+1}}={a_n}•{a_1}=\frac{t+3}{t+4}•{a_n}$，所以{a_n}是首项为$\frac{t+3}{t+4}$，公比为$\frac{t+3}{t+4}$的等比数列，
所以，${a_n}={（{\frac{t+3}{t+4}}）^n}$．  …（2分）
假设数列{a_n}中存在三项a_u，a_v，a_w构成等差数列，不妨设u＜v＜w，
则由2a_v=a_u+a_w，得$2{（{\frac{t+3}{t+4}}）^v}={（{\frac{t+3}{t+4}}）^u}+{（{\frac{t+3}{t+4}}）^w}$，
所以2（t+4）^w-v（t+3）^v-u=（t+4）^w-u+（t+3）^w-u，…（3分）
当t为偶数时，2（t+4）^w-v（t+3）^v-u是偶数，而（t+4）^w-u是偶数，（t+3）^w-u是奇数，
故2（t+4）^w-v（t+3）^v-u=（t+4）^w-u+（t+3）^w-u不能成立； …（5分）
当t为奇数时，2（t+4）^w-v（t+3）^v-u是偶数，而（t+4）^w-u是奇数，（t+3）^w-u是偶数，
故2（t+4）^w-v（t+3）^v-u=（t+4）^w-u+（t+3）^w-u也不能成立．…（7分）
所以，对任意t∈N^*，2（t+4）^w-v（t+3）^v-u=（t+4）^w-u+（t+3）^w-u不能成立，
即数列{a_n}的任意三项都不成构成等差数列．   …（8分）

点评 本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．