Question

8．已知函数f（x）=|x-a|+|2x-1|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）求证：$f（x）≥|a-\frac{1}{2}|$．

Answer 1

分析 （I）分类讨论，即可解不等式；
（II）利用绝对值不等式，即可证明．

解答 （Ⅰ）解：当a=1时，不等式f（x）≥2，即|x-1|+|2x-1|≥2．
x＜$\frac{1}{2}$时，不等式可化为1-x+1-2x≥2，解得x≤0，∴x≤0；
$\frac{1}{2}≤x≤1$时，不等式可化为1-x+2x-1≥2，解得x≥2，∴x无解；
x＞1时，不等式可化为x-1+2x-1≥2，解得x≥$\frac{4}{3}$，∴x≥$\frac{4}{3}$；
综上所述，不等式的解集为（-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）证明：f（x）=|x-a|+|2x-1|≥|a-x|+|x-$\frac{1}{2}$|≥|a-$\frac{1}{2}$|．

点评 本题考查不等式的解法与证明，考查分类讨论的数学思想，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．