Question

17．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左、右两支上的点，且四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2

Answer 1

分析 利用四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，结合双曲线的对称性，求出A的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左、右两支上的点，且四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，不妨A在x轴上方，可知A（$-\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），代入双曲线方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{4{c}^{2}-4{a}^{2}}=1$．
可得e⁴-8e²+4=0，e＞1，
可得e²=$4+2\sqrt{3}$．
可得e=$\sqrt{3}+1$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，判断A的位置是解题的关键，考查计算能力．