Question

18．己知3sin（π-α）+cos（2π-α）=0．
（1）求 $\frac{sinα+cosα}{2sinα-cosα}$
（2）求$\frac{{sin2α+{{cos}^2}α}}{2cos2α+sin2α+2}$
（3）求$tan（2α-\frac{π}{4}）$．

Answer 1

分析 根据同角三角函数关系式和万能公式化简后代入求值即可．

解答 解：己知3sin（π-α）+cos（2π-α）=0．
可得：3sinα+cosα=0，即tanα=$-\frac{1}{3}$；
（1）$\frac{sinα+cosα}{2sinα-cosα}$=$\frac{tanα+1}{2tanα-1}=\frac{-\frac{1}{3}+1}{-\frac{1}{3}×2-1}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{5}{3}}=-\frac{2}{5}$；
（2）$\frac{{sin2α+{{cos}^2}α}}{2cos2α+sin2α+2}$=$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α}{2（2co{s}^{2}α-1）+2sinαcosα+2}$=$\frac{2tanα+1}{4+2tanα}=\frac{1}{10}$；
（3）tan2α=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=$-\frac{3}{4}$，
∴$tan（2α-\frac{π}{4}）=\frac{tan2α-1}{1+tan2α}=-7$．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和万能公式的应用，属于基本知识的考查．