Question

已知Q为椭圆x²+2y²=98上一动点，P（0，5）为一定点，求点P到椭圆的最大和最小距离以及此时Q的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：可设出Q（7

2

cosα，7sinα），（0≤α＜2π），求出|PQ|，化简整理成关于sinα的式子，并配方，再由正弦函数的值域，结合二次函数的顶点，即可得到最值．

解答： 解：由于Q为椭圆x²+2y²=98上一动点，
可设Q（7

2

cosα，7sinα），（0≤α＜2π），
则|PQ|=

(0-7 2 cosα)2+(5-7sinα)2

=

98cos2α+49sin2α-70sinα+25

=

123-49sin2α-70sinα

=

148-49(sinα+ 5 7 )2

由于sinα∈[-1，1]，
则当sinα=-

5

7

∈[-1，1]，此时cosα=±

2 6

7

，即M（4

3

，-5）或（-4

3

，-5）时，
|PQ|取最大值，且为2

37

；
当sinα=1时，cosα=0，即有M（0，7），|PQ|取最小值，且为2．

点评：本题考查椭圆方程，主要是运用参数方程解题，考查三角函数的化简和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．