Question

4．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=-2
（Ⅰ）求tanα
（Ⅱ）设β∈（0，π），且满足$\sqrt{3}$sinβcosβ+cos²β=-$\frac{5}{4}$cos2α，求β．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值．
（Ⅱ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanβ的值，可得β的值．

解答 解：（Ⅰ）∵已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=-2，∴tanα=3．
（Ⅱ）设β∈（0，π），且满足$\sqrt{3}$sinβcosβ+cos²β=-$\frac{5}{4}$cos2α，
而 $\sqrt{3}$sinβcosβ+cos²β=$\frac{\sqrt{3}sinβcosβ{+cos}^{2}β}{{sin}^{2}β{+cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{3}tanβ+1}{{tan}^{2}β+1}$，
-$\frac{5}{4}$cos2α=-$\frac{5}{4}$•$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{cos}^{2}α{+sin}^{2}α}$=-$\frac{5}{4}$•$\frac{1{-tan}^{2}α}{1{+tan}^{2}α}$=-$\frac{5}{4}$•$\frac{1-9}{1+9}$=1，
∴$\frac{\sqrt{3}tanβ+1}{{tan}^{2}β+1}$=1，∴tanβ=$\sqrt{3}$，或tanβ=0（舍去），
∴β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．