Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，3）
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值
（2）若k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$共线，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积的定义，求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$ 的值．
（2）先求得k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$的坐标，再利用两个向量共线的性质求得k的值．

解答 解：（1）设向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，3），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2+6=4，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{13}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$．
（2）∵k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$=（ k-2，2k+3），2$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$=（4，1），
若k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$共线，则（k-2）×1-（2k+3）•4=0，求得k=-2．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，属于基础题．