Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的前n项和S_n=n²，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a_n=2n-1．由数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n，推导出{b_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，由此能求出${b}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-1}{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=（2n-1）•2^n-1，利用错位相减法能求出数列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²，
∴a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=2n-1．
∵数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n．
∴b₁=1，b_n+1（2n+1-2n+1）=b_n，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{1}{2}$，
∴{b_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴${b}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-1}{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=（2n-1）•2^n-1，
∴数列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n项和：
T_n=1•2⁰+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
2T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2•2+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ
=1+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+3-2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、错位相减法的合理运用．