Question

已知实数x，y满足不等式

2x-y≥0 x+y-4≥0 x≤3

，则

2x3+y3

x2y

的取值范围是（　　）

• A、[2

  2

  ，

  19

  3

  ]
• B、[

  1

  3

  ，2]
• C、[3，

  19

  3

  ]
• D、[3，

  55

  9

  ]

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：由题意作出其平面区域，从而可得

1

3

≤

y

x

≤2，化简

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2，利用换元法及导数求取值范围．

解答： 解：由题意作出其平面区域，

由图象可知，

1

3

≤

y

x

≤2，

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2，
令

y

x

=u，则

1

3

≤u≤2，
故

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2=u²+2

1

u

，
（u²+2

1

u

）′=2u-2

1

u2

=3

u3-1

u2

；
又∵

1

9

+2×3=6+

1

9

=

55

9

；
2×2+2×

1

2

=5，1+2=3；
故

2x3+y3

x2y

的取值范围是[3，

55

9

]．
故选D．

点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．