Question

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a）．
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若a=

2

，过点M的圆的两条弦AC、BD互相垂直，
①求证：圆心O到弦AC，BD的距离的平方和为定值；②求AC+BD的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由已知条件，点M在圆上，得1²+a²=4，可得a=±

3

，进而求出切线方程；
（2）①设点O在AC，BD上的射影分别为E，F，利用AC⊥BD，可得四边形OEMF为矩形，即可证明OE²+OF²=OM²=3；②利用2（AC²+BD²）≥（AC+BD）²，即可得出结论．

解答： 解：（1）由已知条件，点M在圆上，∴1²+a²=4，∴a=±

3

．…（1分）
当a=

3

时，k_OM=

3

，k_切线=-

3

3

，此时切线方程为y-

3

=-

3

3

（x-1）；…（3分）
当a=-

3

时，k_OM=-

3

，k_切线=

3

3

，此时切线方程为y+

3

=

3

3

（x-1）…（5分）
综上，切线方程为x+

3

y-4=0或x-

3

y-4=0．…（6分）
（2）①设点O在AC，BD上的射影分别为E，F，
又∵AC⊥BD，∴四边形OEMF为矩形，
∴OE²+OF²=OM²=3  …（10分）
②由①可知，∵AC²+BD²=4（4-OE²）+4（4-OF²）=32-4 （OE²+OF²）=20，…（12分）
又∵2（AC²+BD²）≥（AC+BD）²，…（14分）
∴（AC+BD）²≤40，∴AC+BD≤2

10

．…（15分）

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查圆的切线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．