Question

已知过点A（1，0）的直线l₁与曲线C：

x=2+2cosα y=1+2sinα

（α是参数）交于P，Q两点，与直线l₂：x+y+2=0交于点N．若PQ的中点为M，
（1）求|AM|•|AN|的值；
（2）求|AP|+|AQ|的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（1）求出直线l₁的参数方程，将其代入圆的方程和直线l₂的方程，得到参数t，运用韦达定理，和中点的参数t，即可得到所求值；
（2）由（1）可得，t₁+t₂=2（cosθ+sinθ），t₁t₂=-2，则|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

代入运用三角函数的二倍角公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答： 解：（1）设过点A（1，0）的直线l₁的方程为

x=1+tcosθ y=tsinθ

（t为参数），
曲线C：

x=2+2cosα y=1+2sinα

（α是参数）即为圆（x-2）²+（y-1）²=4，
将直线l₁的方程代入圆的方程，可得t²-2（cosθ+sinθ）t-2=0，
可得，t₁+t₂=2（cosθ+sinθ），t₁t₂=-2，
则|AM|=|

t1+t2

2

|=|cosθ+sinθ|，
将直线l₁的方程代入直线l₂：x+y+2=0，可得t=

-3

cosθ+sinθ

，
则|AM|•|AN|=|cosθ+sinθ|•|

-3

cosθ+sinθ

|=3；
（2）|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

4(cosθ+sinθ)2+8

=

12+4sin2θ

，
当sin2θ=1即θ=kπ+

π

4

，k∈Z，时，取得最大值4．

点评：本题考查参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程的参数的几何意义及运用，考查韦达定理及三角函数的值域，考查运算能力，属于中档题．