Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点，F是棱AB的中点．
（1）无论点E在任何位置时，是否都有BD⊥AE？并证明你的结论；
（2）当E为棱PC中点时，求证：EF∥平面PAD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明PC⊥面ABCD，BD⊥PC，证明BD⊥面PAC，即可证明BD⊥AE．
（2）连接AC，交BD于O，得到O是AC的中点，进一步得到EF∥AP，利用线面平行的判定定理可证．

解答： 解：（1）无论点E在任何位置时，都有BD⊥AE；
证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，⇒PC⊥面ABCD…（2分）
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因为BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，
∴BD⊥AE．
（2）连接AC，交BD于O，因为底面是正方形，所以O是AC的中点，又E是PC的中点，所以EF∥AP，
又EF?平面PAD，AP?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．

点评：本题考查了线线垂直和线面垂直的判定定理的运用，关键是熟练有关的定理，熟练转化的思想．