题目内容
已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a=-1，求f（x）的单调区间．
（Ⅰ）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a=-1，求f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的概念及应用
分析：（1）先求出函数的导数，切线的斜率，切点的坐标，代入切线方程求出即可，（2）求出函数的导数，解不等式求出单调区间．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2+x-1）ex，
∴f′（x）=（2x+1）ex+（x2+x-1）ex=（x2+3x）ex，
∴k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴所求切线方程为：4ex-y-3e=0，
（Ⅱ）∵f（x）=（-x2+x-1）ex，
∴f′（x）=-x（x+1）ex，
令f′（x）＜0，解得：x＜-1，x＞0，
令f′x）＞0，解得：-1＜x＜0，
∴f（x）的减区间为（-∞，-1），（0，+∞），增区间为（-1，0）．
∴f′（x）=（2x+1）ex+（x2+x-1）ex=（x2+3x）ex，
∴k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴所求切线方程为：4ex-y-3e=0，
（Ⅱ）∵f（x）=（-x2+x-1）ex，
∴f′（x）=-x（x+1）ex，
令f′（x）＜0，解得：x＜-1，x＞0，
令f′x）＞0，解得：-1＜x＜0，
∴f（x）的减区间为（-∞，-1），（0，+∞），增区间为（-1，0）．
点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
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