Question

（文科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）直接由抛物线的定义得抛物线的方程；
（2）①设出AB所在直线方程y=kx+b，和抛物线方程联立后由根与系数关系结合已知条件求得b的值，则可证得直线过定点，并求得定点坐标；
②由抛物线的定义，结合（2）①中的根与系数关系把|PA|+|PB|转化为含有k的代数式，则|PA|+|PB|的取值范围可求．

解答： （1）解：由已知动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切，
∴动圆圆心C到点P与到定直线l的距离相等，
∴点C的轨迹是以P为焦点，定直线l为准线的抛物线．
∴所求方程为：x²=4y；
（2）①证明：设直线AB方程为：y=kx+b，
由

y=kx+b x2=4y

，消去y得：x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b．
∵x₁x₂=-16，∴b=4．
∴直线AB过定点（0，4）；
②解：由抛物线定义知：|PA|=y₁+1，|PB|=y₂+1，
又y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16．
∴|PA|+|PB|=k(x1+x2)+10=4k2+10≥10（等号当k=0时成立），
∴所求|PA|+|PB|的取值范围是[10，+∞）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，解答直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线与圆锥曲线联立，化为关于x的一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系求解，是高考试卷中的压轴题．