Question

已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（m-2）＜f（m），求m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由

2+x＞0 2-x＞0

，求得x的范围，可得函数y=f（x）定义域．
（Ⅱ）由于函数y=f（x）的定义域关于原点对称．且满足 f（-x）=f（x），可得函数y=f（x）为偶函数．
（Ⅲ）化简函数f（x）的解析式为lg（4-x²），结合函数的单调性可得，不等式f（m-2）＜f（m）等价于|m|＜|m-2|＜2，由此求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）要使函数有意义，则

2+x＞0 2-x＞0

，解得-2＜x＜2，
故函数y=f（x）定义域为（-2，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数y=f（x）的定义域为（-2，2），关于原点对称．
对任意x∈（-2，2），则-x∈（-2，2），
∵f（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=f（x），
∴由函数奇偶性可知，函数y=f（x）为偶函数．
（Ⅲ）∵函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²），
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x＜2时，函数y=f（x）为减函数．
又函数y=f（x）为偶函数，
∴不等式f（m-2）＜f（m）等价于|m|＜|m-2|＜2，
解得0＜m＜1．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，复合函数的单调性，属于中档题．