题目内容
一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
| A、πa2 | ||
| B、15πa2 | ||
C、
| ||
D、
|
考点：球内接多面体
专题：计算题,球
分析：由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
解答：
解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，
设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，
则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1=
=
，
在直角三角形ODA1中，OE=
，由勾股定理
∴R=OA1=
=
=
，
∴球的表面积为S=4π•
a2=
πa2，
故选：D．
解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，
则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1=
| A1D |
| sin60° |
| a |
| 2sin60° |
在直角三角形ODA1中，OE=
| a |
| 2 |
∴R=OA1=
| OE2+EA12 |
(
|
|
∴球的表面积为S=4π•
| 7 |
| 12 |
| 7 |
| 3 |
故选：D．
点评：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．
练习册系列答案
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| A、10 | B、-10 |
| C、20 | D、-20 |
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