Question

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=(cosA，sinA)，向量

n

=(

2

-sinA，cosA)
若|

m

+

n

|=2．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径为2，b=2，求边c的长．

Answer 1

考点：余弦定理,向量的模,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标表示出

m

+

n

，根据向量模的计算方法列出关系式，整理求出tanA的值，即可确定出A的度数；
（2）由三角形ABC外接圆半径，sinA的值，求出a的值，利用余弦定理求出c的值即可．

解答： 解：（1）∵

m

=（cosA，sinA），

n

=（

2

-sinA，cosA），
∴

m

+

n

=（cosA-sinA+

2

，cosA+sinA），
∵|

m

+

n

|=2，
∴（cosA-sinA+

2

）²+（cosA+sinA）²=4，化简得：sinA=cosA，即tanA=1，
则A=

π

4

；
（2）∵△ABC外接圆的半径为2，b=2，A=

π

4

，
∴在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=2R=4，即a=4sinA=2

2

，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2b•c•cosA，
化简得：c²-2

2

c-4=0，
解得：c=

2

+

6

（负值舍去）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．