Question

如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BCD=30°，BC=6．
（1）证明：平面ADC⊥平面ADB；
（2）求二面角A-CD-B平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得BD⊥面ABC，BD⊥AC，从而AC⊥面ADB，由此能证明面ADC⊥面ADB．
（2）取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，从而AE⊥面BCD，过E作EF⊥DC于F，连接AF，则∠AFE是二面角A-CD-B的平面角，由此能求出二面角A-CD-B平面角的正切值．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：因为面ABC⊥面BCD，BD⊥BC，
面ABC∩面BCD=BC，BD?面BCD，
所以BD⊥面ABC．（3分）
又AC?面ABC，所以BD⊥AC．（4分）
又AB⊥AC，且BD∩AB=B，
所以AC⊥面ADB．（5分）
又AC?面ADC，所以面ADC⊥面ADB．（6分）
（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，（7分）
又面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，
所以AE⊥面BCD，（8分）
所以AE⊥CD，过E作EF⊥DC于F，连接AF，
则DC⊥面AEF，则DC⊥AF，所以∠AFE是二面角A-CD-B的平面角．（11分）
在Rt△CEF中，∠ECF=300，EF=

1

2

CE=

3

2

，又AE=3，（13分）
所以tan∠AFE=

AE

EF

=2，
即二面角A-CD-B平面角的正切值为2．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．