Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+2x+（2-a）lnx
（1）当a=-2时，求f（x）的最大值
（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求a的取值范围
（3）若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求a的值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-2时，f（x）=-x²+2x+4lnx，（x＞0），f′（x）=

-2(x+1)(x-2)

x

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
（2）f′(x)=ax+2+

2-a

x

=

(ax+2-a)(x+1)

x

，（x∈（0，+∞））．由于在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，
可得f′（x）≤0在x∈（0，+∞）的一个子集D上成立．即ax≤a-2在x∈（0，+∞）的一个子集D上成立．对a分类讨论即可得出．
（3）f′（1）=4，f（1）=

1

2

a+2．可得切线方程y=4x+

1

2

a-2，由于曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，因此方程4x+

1

2

a-2=

1

2

ax²+2x+（2-a）lnx只有一个实数根，令g（x）=

1

2

ax2-2x+(2-a)lnx-

1

2

a+2，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．

解答： 解：（1）当a=-2时，f（x）=-x²+2x+4lnx，（x＞0），
f′（x）=-2x+2+

4

x

=

-2(x+1)(x-2)

x

，令f′（x）＞0，解得0＜x＜2，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得2＜x，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=4ln2．
（2）f′(x)=ax+2+

2-a

x

=

(ax+2-a)(x+1)

x

，（x∈（0，+∞））．
∵在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，
∴f′（x）≤0在x∈（0，+∞）的一个子集D上成立．
∴ax≤a-2在x∈（0，+∞）的一个子集D上成立．
若a＜0，则x≥1-

2

a

，满足题意．
若a＞2，则0＜x≤1-

2

a

，满足题意．
则当0≤a≤2时，不满足题意．
综上可得：a的取值范围是a＜0或a＞2．
（3）f′（1）=4，f（1）=

1

2

a+2．
切线方程为y-

1

2

a-2=4(x-1)，化为y=4x+

1

2

a-2，
∵曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，
∴方程4x+

1

2

a-2=

1

2

ax²+2x+（2-a）lnx只有一个实数根，
即

1

2

ax2-2x+(2-a)lnx-

1

2

a+2=0只有一个实数根，
令g（x）=

1

2

ax2-2x+(2-a)lnx-

1

2

a+2，
g′（x）=ax-2+

2-a

x

=

(ax-2+a)(x-1)

x

，
当a=1时，g′（x）=

(x-1)2

x

≥0恒成立，此时函数g（x）单调递增，而g（1）=0，只有一解，满足题意．
当a≠1时，函数g（x）由极值点，其实数根不唯一，因此不满足题意．
∴a=1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、几何意义、切线方程，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．