Question

（1）如果log 

1

2

|x-

π

3

|≥log 

1

2

π

2

那么sinx的取值范围是

 

；
（2）如果函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值
范围是

 

．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的单调性结合绝对值不等式的解法即可得到结论．
（2）利用换元法结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）如果log 

1

2

|x-

π

3

|≥log 

1

2

π

2

，则0＜|x-

π

3

|≤

π

2

，
即-

π

2

≤x-

π

3

≤

π

2

且x≠

π

3

，
即-

π

6

≤x≤

5π

6

且x≠

π

3

，
则-

π

6

≤x≤

5π

6

且x≠

π

3

，
-

1

2

≤sinx≤1；
（2）设t=a^x，则函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）等价为y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t，
若a＞1，当x≥0时，t≥1，
若f（x）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，
则等价为y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t在[1，+∞）上为增函数，即-

-(3a2+1)

2

=

3a2+1

2

≤1，
即3a²+1≤2，a²≤

1

3

，此时不成立，
若0＜a＜1，当x≥0时，0＜t＜1，
若f（x）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，
则等价为y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t在（0，1）上为减函数，即-

-(3a2+1)

2

=

3a2+1

2

≤1，
即3a²+1≤2，a²≤

1

3

，此时0≤a≤

3

3

成立，
故实数a的取值范围是 0≤a≤

3

3

．
故答案为：-

1

2

≤sinx≤1，0≤a≤

3

3

．

点评：本题主要考查对数不等式的求解以及复合函数单调性的应用，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．