Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式a_n²+

Sn2

n2

≥ma1²对任意等差数列{a_n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  1

  4

• D、

  1

  5

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：令

1

2

（n-1）d=t，由a_n²+

Sn2

n2

=（a₁+2t）²+（a₁+t）²=2a₁²+6ta₁+5t²=5（t-

3a1

5

）²+2a₁²-

9a12

5

，当t=

3a1

5

时，取到最小值，由此能求出结果．

解答： 解：a_n²+

Sn2

n2

=a_n²+

1

n2

[na₁+

1

2

n（n-1）d]²
=a_n²+[a₁+

1

2

（n-1）d]²，
令

1

2

（n-1）d=t，
a_n²+

Sn2

n2

=（a₁+2t）²+（a₁+t）²
=2a₁²+6ta₁+5t²
=5（t-

3a1

5

）²+2a₁²-

9a12

5

，
当t=

3a1

5

时，取到最小值
即

1

2

（n-1）d=

3a1

5

，即n=

6a1

5d

+1，
∵不等式a_n²+

Sn2

n2

≥ma1²对任意等差数列{a_n}及任意正整数n都成立，
∴m≤

1

5

．
∴实数m的最大值为

1

5

．
故选：D．

点评：本题考查了数列与不等式的综合应用，其中用到换元法求得二次函数的最值，应属于考查计算能力的中档题目．