Question

18．（Ⅰ）若圆x²+y²=4在伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=3y}\end{array}\right.$（λ＞0）的作用下变成一个焦点在x轴上，且离心率为$\frac{4}{5}$的椭圆，求λ的值；
（Ⅱ）在极坐标系中，已知点A（2，0），点P在曲线C：$ρ=\frac{2+2cosθ}{si{n}^{2}θ}$上运动，求P、A两点间的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆x²+y²=4在伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=3y}\end{array}\right.$（λ＞0）的作用下可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{{λ}^{2}}$+$\frac{（{y}^{′}）^{2}}{9}$=4，即$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1．根据变成一个焦点在x轴上，且离心率为$\frac{4}{5}$的椭圆，可得b=6，$\sqrt{1-\frac{36}{4{λ}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，解得λ．
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程曲线C：$ρ=\frac{2+2cosθ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{2}{1-cosθ}$，即ρ-ρcosθ=2．利用互化公式可得直角坐标方程，设点P（x，y）（x≥-1），利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圆x²+y²=4在伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=3y}\end{array}\right.$（λ＞0）的作用下可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{{λ}^{2}}$+$\frac{（{y}^{′}）^{2}}{9}$=4，即$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1．
变成一个焦点在x轴上，且离心率为$\frac{4}{5}$的椭圆，∴2λ=a，b=6，$\sqrt{1-\frac{36}{4{λ}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，解得λ=5．
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程曲线C：$ρ=\frac{2+2cosθ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{2}{1-cosθ}$，即ρ-ρcosθ=2．化为直角坐标方程，得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$-x=2．
化为：y²=4（x+1）．设点P（x，y）（x≥-1），
则|PA|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+8}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当x=0时取等号．
故|PA|的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程与性质、坐标变换、极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．