Question

14．已知以抛物线x²=2py，（p＞0）的顶点和焦点之间的距离为直径的圆的面积为4π，过点（-1，0）的直线L与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线L的距离为1或4或$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 以抛物线x²=2py，（p＞0）的顶点和焦点之间的距离为直径的圆的面积为4π，求出抛物线的方程，考虑斜率存在与不存在，分别求出切线方程，即可得到结论．

解答 解：由题意，$\frac{p}{2}$=4，∴p=8，∴x²=16y，
设过点A（-1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），代入抛物线x²=16y，化简可得x²-16kx-16k=0
∵过点A（-1，0）的直线l与抛物线x²=16y只有一个公共点，
∴△=256k²+64k=0
∴k=0或-$\frac{1}{4}$
切线方程为y=0或y=-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
当斜率不存在时，x=-1满足题意
焦点（0，4）到直线L的距离为分别为1或4或$\sqrt{17}$，
故答案为1或4或$\sqrt{17}$．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．