Question

如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．
（Ⅰ）求证：PA=PC；
（Ⅱ）若圆O的半径为3，|OP|=5，求BC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由于PA与圆O相切于点A，可得OA⊥AP，于是∠OAC+∠PAC=90°．由于OB⊥OP，可得∠OCB+∠B=90°．利用OA=OB，可得∠OAC=∠OBC．可得∠PAC=∠OCB．利用对顶角相等可得∠OCB=∠PCA，进而得到∠PAC=∠PCA，即可证明PA=PC．
（2）在Rt△OAP中，利用勾股定理可得AP=

OP2-OA2

=

52-32

，即可得出PC=4．进而得到OC=OP-CP．在Rt△OBC中，利用勾股定理可得BC²=OB²+OC²即可．

解答： （1）证明：∵PA与圆O相切于点A，
∴OA⊥AP，∴∠OAC+∠PAC=90°．
∵OB⊥OP，∴∠OCB+∠B=90°．
∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC．
∴∠PAC=∠OCB，
又∵∠OCB=∠PCA，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
（2）解：在Rt△OAP中，AP=

OP2-OA2

=

52-32

=4．
∴PC=4．
∴OC=OP-CP=1．
在Rt△OBC中，BC²=OB²+OC²=3²+1²=10．
∴BC=

10

．

点评：本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、圆的性质、对顶角相等的性质、等角对等边的性质等基础知识，属于基础题．