Question

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2题就停止答题，即为闯关成功．已知6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（Ⅱ）设乙答对题目的个数为η，求η的方差；
（Ⅲ）设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,极差、方差与标准差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用对立事件的概率计算公式能求出甲、乙至少有一人闯关成功的概率．
（Ⅱ）由题意η～(3，

2

3

)，由此能求出η的方差．
（Ⅲ）由题意知ξ=1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设事件A：甲、乙至少有一人闯关成功，
P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 2 2 C 1 4

C 3 6

[(

1

3

)3+

C

2 3

(

1

3

)2

2

3

]=

128

135

．…（4分）
（Ⅱ）由题意η～(3，

2

3

)，
所以D(η)=3×

2

3

×

1

3

=

2

3

…（7分）
（Ⅲ）由题意知ξ=1，2，
P(ξ=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
P(ξ=2)=

C 1 2 C 2 4 + C 3 4

C 3 6

=

4

5

，
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2
P	1 5	4 5

…（10分）
E（ξ）=1×

1

5

+2×

4

5

=

9

5

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和均值的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．