Question

已知曲线C：x²+y²=1，对它先作矩阵A=

1 0 0 2

对应的变换，再作矩阵B=

0 b 1 0

对应的变换，得到曲线C：

x2

4

+y²=1．则实数b=

 

．

Answer 1

考点：复合变换与二阶矩阵的乘法

专题：选作题,矩阵和变换

分析：从曲线C₁变到曲线C₂的变换对应的矩阵为BA，然后在曲C₁上任意选一点P（x₀，y₀），设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P'（x'，y'），建立关系式，将P（x₀，y₀）代入x²+y²=1，最后与

x2

4

+y²=1比较可得b的值．

解答： 解：从曲线C₁变到曲线C₂的变换对应的矩阵BA=

0 b 1 0

•

1 0 0 2

=

0 2b 1 0

在曲C₁上任意选一点P（x₀，y₀），设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P'（x'，y'），
则有

0 2b 1 0

•

x0 y0

=

x′ y′

解得

y0= 1 2b x′ x0=y′

代入曲线C：x²+y²=1，得，y'²+(

1

2b

x′)2=1
即曲线方程为：

x2

4b2

+y²=1
与已知的曲线C₂的方程为：

x2

4

+y²=1比较得（2b）²=4
所以b=±1．
故答案为：±1．

点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．