Question

已知函数f（x）=|3x-1|+2x+

1

3

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立；q：y=（m²-3）^x，x∈R是增函数．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,函数的最值及其几何意义

专题：简易逻辑

分析：（Ⅰ）通过讨论当x≥

1

3

时，当x≤

1

3

时的情况，从而求出函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）通过解不等式分别求出p真，p假；q真q假时的m的范围，通过讨论①p真q假时，②p假q真时的情况，从而求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当x≥

1

3

时，f（x）=5x-

2

3

，
当x≤

1

3

时，f（x）=-x+

4

3

，
∴x=

1

3

时，f（x）_最小值=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
若关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立，
则1≥m²+2m-2，解得：-3≤m≤1，
∴p真：-3≤m≤1，p假：m＞1或m＜-3，
若y=（m²-3）^x，x∈R是增函数，
则-2＜m＜2，
∴q真：-2＜m＜2，q

-3≤m≤1 m≥2或m≤-2

假：m≥2或m≤-2，
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
①p真q假时：

-3≤m≤1 m≥2或m≤-2

，∴-3≤m≤-2；
②p假q真时：

m＞1或m＜-3 -2＜m＜2

，∴1≤m≤2，
综上：m∈[-3，-2]∪[1，2]．

点评：本题考查了复合命题的真假，考查了函数的最值问题，是一道中档题．