Question

16．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a₃=a₅，S₄=10S₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）正项等比数列{a_n}的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项；
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）正项等比数列{a_n}的公比设为q，
由a₂a₃=a₅，S₄=10S₂，
可得a₁²q³=a₁q⁴，a₁（1+q+q²+q³）=10a₁（1+q），
解得a₁=q=3，（q=1舍去），
则a_n=a₁q^n-1=3ⁿ；
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
前n项和T_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
相减可得-2T_n=1•3+2•（3²+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．