Question

3．已知圆C：（x-6）²+（y-8）²=1和两点A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若对圆上任意一点P，都有∠APB＜90°，则m的取值范围是（　　）

• A． （9，10）
• B． （1，9）
• C． （0，9）
• D． （9，11）

Answer 1

分析 设P（6+cosθ，8+sinθ），则$\overrightarrow{PA}$=（-m-6-cosθ，-8-sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（m-6-cosθ，-8-sinθ），由对圆上任意一点P，都有∠APB＜90°，得到$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$＞0，由此能求出m的取值范围．

解答 解：圆C：（x-6）²+（y-8）²=1的圆心C（6，8），半径r=1，
设P（6+cosθ，8+sinθ），
∵A（-m，0），B（m，0）（m＞0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（-m-6-cosθ，-8-sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（m-6-cosθ，-8-sinθ），
∵对圆上任意一点P，都有∠APB＜90°，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（-m-6-cosθ）（m-6-cosθ）+（-8-sinθ）²
=101+16sinθ+12cosθ-m²=20sin（θ+α）+101-m²＞0．（tanα=$\frac{3}{4}$），
∴m²＜20sin（θ+α）+101，
由m＞0，解得9＜m＜11．
故选：D．

点评 本题考查实数值取值范围的求法，涉及到圆、直线方程、向量、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．