Question

如图，曲线Γ：x²+y²=1（x≥0，y≥0）与x轴交于点A，点P在曲线Γ上，∠AOP=α．
（Ⅰ）若点P的坐标是（

3

5

，

4

5

），求2cos

α

2

（cos

α

2

+sin

α

2

）的值；
（Ⅱ）求函数f（α）=sin（α-

π

6

）+

3

cos（α-

π

6

）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据P点坐标，分别求得sinα和cosα的值，最后利用二倍角公式整理所求，代入即可．
（2）利用两角和公式对函数解析式整理，根据α的范围确定函数的最大和最小值．

解答： 解：（1）依题意知sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
∴2cos

α

2

（cos

α

2

+sin

α

2

）=2cos²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

=cosα+sinα+1=

3

5

+

4

5

+1=2．
（2）f（α）=sin（α-

π

6

）+

3

cos（α-

π

6

）=2sin（α-

π

6

+

π

3

）=2sin（α+

π

6

），
∵0≤α≤

π

2

，
∴

π

6

≤α+

π

6

≤

2π

3

∴

1

2

≤sin（α+

π

6

）≤1
∴1≤f（x）≤2，即函数的值域为[1，2]

点评：本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的化简求值，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合掌握．