Question

12．在?ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿着对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长度为（　　）

• A． 2
• B． 2或$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量的加法，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$，等式两边进行平方，求出BD的长度即可．

解答 解：∵∠ACD=90°，∴$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{CD}$=0．
同理$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{AC}$=0．
∵AB和CD成60°角，∴＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$＞=60°或120°．
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$，
∴${\overrightarrow{BD}}^{2}$=3+2×1×1×cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$＞
∴|$\overrightarrow{BD}$|=2或$\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本小题主要考查异面直线所成的角，以及数量积表示两个向量的夹角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．