Question

4．函数f（x），当x＞0有意义且满足条件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是增函数．
（1）求证：f（1）=0；
（2）若f（3）+f（4-8x）＞2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=2，y=1，并代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求出f（1）的值；
（2）令x=2，y=2，代入求得f（4），结合题意可将f（3）+f（4-8x）≥2转化为f（12-24x）≥f（4），结合函数的单调性与函数的定义域

解答 解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=2，y=1，则f（2×1）=f（2）+f（1），
又由f（2）=1，则f（1）=0；
（2）令x=2，y=2，则f（2×2）=f（4）=f（2）+f（2）=2，
所以f（3）+f（4-8x）=f（12-24x）≥f（4），
又f（x）为增函数，∴$\left\{\begin{array}{l}{4-8x＞0}\\{12-24x≥4}\end{array}\right.$解得：x$≤\frac{1}{3}$，

点评 本题考查了抽象函数的应用，解（2）的关键是根据题意，分析出f（4）=2，进而用f（4）替换2，要注意函数的定义域，属于基础题．